YKS Alan Yeterlilik Testleri
AYT örnek sorular (20 soru)
AYT konularından 20 örnek soru: Geometri, Sayılar, Fonksiyonlar ve Cebir, Limit, Türev ve İntegral. Her sorunun altında doğru cevap, açıklaması ve dayandığı kaynak var. Bunlar çıkmış sorular değildir; Akademi Kolay editörlerinin resmî mevzuat ve kaynaklara dayanarak yazdığı özgün sorulardır.
Soru 1 · Geometri
Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 7 katından 20° fazladır. Buna göre bu çokgen kaç kenarlıdır?
- A)12
- B)15
- C)16
- D)18
- E)20
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: D) 18
Dış açı e olsun; iç açı 180° − e'dir. 180° − e = 7e + 20° ⇒ 8e = 160° ⇒ e = 20°. Düzgün çokgende dış açılar toplamı 360° olduğundan kenar sayısı 360° / 20° = 18'dir.
Kaynak: AYT Matematik · Geometri II: Çokgenler, Dörtgenler ve Katı Cisimler
Soru 2 · Sayılar, Fonksiyonlar ve Cebir
f(x) = x² − 4 ve g(x) = x² − 5x + 6 fonksiyonları veriliyor. h = f/g fonksiyonunun en geniş tanım kümesi ℝ − A olduğuna göre A kümesinin elemanları toplamı ile h(4) değerinin toplamı kaçtır?
- A)5
- B)8
- C)9
- D)11
- E)14
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: D) 11
h(x) = (x² − 4)/(x² − 5x + 6) ifadesinde payda (x − 2)(x − 3) olduğundan A = {2, 3}'tür; sadeleştirme x = 2'yi tanım kümesine katmaz. Elemanlar toplamı 5. h(4) = 12/2 = 6. İstenen toplam 5 + 6 = 11 (MEB 10.2.1.1-d).
Kaynak: AYT Matematik · Fonksiyonlar: Kavram, Bileşke, Ters ve Dönüşümler
Soru 3 · Limit, Türev ve İntegral
a ve b birer gerçek sayı olmak üzere lim (x→1) (x² + ax + 4) / (x − 1) = b olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?
- A)−12
- B)−10
- C)−8
- D)−6
- E)−3
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: C) −8
Paydanın limiti 0 olduğundan limitin gerçek sayı çıkması için payın limiti de 0 olmalıdır: 1 + a + 4 = 0, a = −5. x² − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) olduğundan b = lim (x→1) (x − 4) = −3. a + b = −8 (12.5.1.2/b).
Kaynak: AYT Matematik · Limit ve Süreklilik
Soru 4 · Geometri
Aşağıdaki denklemlerden hangileri analitik düzlemde bir çember belirtir? I. x² + y² + 2x + 2 = 0 II. 2x² + 2y² + 8x − 4y + 2 = 0 III. x² + y² − 4x + 2y + 1 = 0
- A)Yalnız I
- B)Yalnız II
- C)I ve II
- D)I ve III
- E)II ve III
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: E) II ve III
I: (x + 1)² + y² = −1; sağ taraf negatif olduğundan hiçbir nokta sağlamaz. II: 2'ye bölünce x² + y² + 4x − 2y + 1 = 0 ⇒ (x + 2)² + (y − 1)² = 4, çemberdir. III: (x − 2)² + (y + 1)² = 4, çemberdir. Çember belirtenler II ve III'tür.
Kaynak: AYT Matematik · Geometri IV: Çember, Daire ve Çemberin Analitik İncelenmesi
Soru 5 · Sayılar, Fonksiyonlar ve Cebir
x² − 7x + 6 < 0 ve x² − 2x − 8 ≥ 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesindeki tam sayılar toplandığında sonuç kaç olur?
- A)5
- B)9
- C)12
- D)14
- E)15
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: B) 9
x² − 7x + 6 = (x − 1)(x − 6) < 0 ⇒ 1 < x < 6. x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) ≥ 0 ⇒ x ≤ −2 ya da x ≥ 4. Kesişim 4 ≤ x < 6'dır; tam sayılar 4 ve 5, toplamları 9 (eşitsizlik sistemi, MEB 11.4.2.2).
Kaynak: AYT Matematik · İkinci Dereceden Denklemler, Parabol ve Eşitsizlikler
Soru 6 · Limit, Türev ve İntegral
x > 0 olmak üzere türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(x² + 1) = x^4 + 2x³ eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre f′(5) kaçtır?
- A)7
- B)14
- C)21
- D)28
- E)56
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: B) 14
Eşitliğin iki tarafının türevi alınır; sol tarafta zincir kuralı uygulanır: 2x · f′(x² + 1) = 4x³ + 6x². x² + 1 = 5 için x = 2'dir: 4 · f′(5) = 32 + 24 = 56, f′(5) = 14 (12.5.2.4).
Kaynak: AYT Matematik · Anlık Değişim Oranı ve Türev
Soru 7 · Geometri
ABC üçgeninde |BC| = 6√3 birim ve m(BAC) = 60°'dir. Buna göre ABC üçgeninin çevrel çemberinin sınırladığı dairenin alanı kaç birimkaredir?
- A)9π
- B)12π
- C)27π
- D)36π
- E)108π
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: D) 36π
Sinüs teoreminin çevrel çemberle ilişkisi: |BC| / sin A = 2R ⇒ 6√3 / (√3/2) = 12 = 2R ⇒ R = 6. Dairenin alanı πR² = 36π birimkaredir.
Kaynak: AYT Matematik · Geometri IV: Çember, Daire ve Çemberin Analitik İncelenmesi
Soru 8 · Sayılar, Fonksiyonlar ve Cebir
P(x) = x³ + ax² + bx − 6 polinomu x² − x − 2 ile tam bölünebildiğine göre a · b çarpımı kaçtır?
- A)−10
- B)−6
- C)−2
- D)6
- E)10
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: A) −10
x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) olduğundan P(2) = 0 ve P(−1) = 0'dır. P(2) = 8 + 4a + 2b − 6 = 0 ⇒ 2a + b = −1; P(−1) = −1 + a − b − 6 = 0 ⇒ a − b = 7. Buradan a = 2, b = −5 ve a · b = −10. P(x) = (x − 2)(x + 1)(x + 3) olur (MEB 10.3.1.2-a).
Kaynak: AYT Matematik · Polinomlar: İşlemler, Bölme ve Çarpanlara Ayırma
Soru 9 · Limit, Türev ve İntegral
f(x) = x³ − 6x² + 5x + 1 eğrisine çizilen teğetlerden eğimi en küçük olanın eğimi kaçtır?
- A)−11
- B)−10
- C)−9
- D)−7
- E)5
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: D) −7
x apsisli noktadaki teğetin eğimi m(x) = f′(x) = 3x² − 12x + 5'tir. m′(x) = 6x − 12 = 0 ⇒ x = 2 ve işaret − → + değiştiğinden en küçük eğim buradadır: m(2) = 12 − 24 + 5 = −7 (12.5.2.1/b, 12.5.3.2).
Kaynak: AYT Matematik · Türevin Uygulamaları
Soru 10 · Geometri
Özel dörtgenlerle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? I. Her kare bir eşkenar dörtgendir. II. Köşegenleri birbirini dik ortalayan her dörtgen bir karedir. III. Her dikdörtgen bir paralelkenardır.
- A)Yalnız I
- B)Yalnız III
- C)I ve III
- D)II ve III
- E)I, II ve III
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: C) I ve III
Karenin dört kenarı eş olduğundan her kare bir eşkenar dörtgendir; I doğrudur. Köşegenleri birbirini dik ortalayan dörtgen eşkenar dörtgendir, açıları 90° olmak zorunda değildir; II yanlıştır. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları paraleldir; III doğrudur.
Kaynak: AYT Matematik · Geometri II: Çokgenler, Dörtgenler ve Katı Cisimler
Soru 11 · Sayılar, Fonksiyonlar ve Cebir
Aşağıdaki yönlü açılardan hangisinin esas ölçüsü diğerlerininkinden farklıdır?
- A)−1050°
- B)−690°
- C)−330°
- D)13π/6
- E)17π/6
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: E) 17π/6
−1050° + 3 · 360° = 30°, −690° + 2 · 360° = 30°, −330° + 360° = 30° ve 13π/6 − 2π = π/6 = 30°'dir. 17π/6 − 2π = 5π/6 olduğundan bu açının esas ölçüsü 150°'dir; farklı olan 17π/6'dır (11.1.1.2).
Kaynak: AYT Matematik · Trigonometri I: Açılar, Trigonometrik Fonksiyonlar ve Üçgen Teoremleri
Soru 12 · Limit, Türev ve İntegral
f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1 fonksiyonunun [−2, 3] kapalı aralığındaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin toplamı kaçtır?
- A)−11
- B)−8
- C)−3
- D)0
- E)8
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: A) −11
f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x − 2)(x + 1); kritik noktalar −1 ve 2 aralığın içindedir. Adaylar: f(−2) = −3, f(−1) = 8, f(2) = −19, f(3) = −8. Mutlak maksimum 8, mutlak minimum −19'dur; toplam −11 (12.5.3.2).
Kaynak: AYT Matematik · Türevin Uygulamaları
Soru 13 · Geometri
ABCD dışbükey dörtgeninde |AB| = 5, |AD| = 12, |BC| = 9 ve |CD| = 7 birimdir. m(BAD) > 90° ve |BD| bir tam sayı olduğuna göre |BD|'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
- A)14
- B)29
- C)31
- D)42
- E)45
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: B) 29
ABD üçgeninde A açısı geniş olduğundan |BD|² > 5² + 12² = 169 ⇒ |BD| > 13; üçgen eşitsizliğinden |BD| < 17. BCD üçgeninde 9 − 7 < |BD| < 9 + 7 ⇒ |BD| < 16. Ortak tam sayılar 14 ve 15'tir; toplamları 29'dur.
Kaynak: AYT Matematik · Geometri I: Üçgenler
Soru 14 · Sayılar, Fonksiyonlar ve Cebir
x bir tam sayı olmak üzere (1/2)^(x² − 3x) ≥ 1/16 koşulunu sağlayan x değerlerinin kümesi kaç elemanlıdır?
- A)2
- B)3
- C)4
- D)5
- E)6
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: E) 6
1/16 = (1/2)⁴'tür. Taban 1'den küçük olduğundan üsler karşılaştırılırken yön değişir: x² − 3x ≤ 4, x² − 3x − 4 ≤ 0 ve (x − 4)(x + 1) ≤ 0. Çözüm −1 ≤ x ≤ 4; tam sayılar −1, 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 6 tanedir. Uçlar dışarıda bırakılırsa yanlışlıkla 4 bulunur.
Kaynak: AYT Matematik · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Soru 15 · Limit, Türev ve İntegral
m bir gerçek sayı olmak üzere f fonksiyonu f(x) = (x² − x − 6) / (x − 3), x ≠ 3 ise f(x) = m, x = 3 ise biçiminde tanımlanıyor. f her gerçek sayıda sürekli olduğuna göre m kaçtır?
- A)1
- B)2
- C)3
- D)5
- E)6
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: D) 5
Süreklilik için f(3) = lim (x→3) f(x) olmalıdır. x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) olduğundan x ≠ 3 için f(x) = x + 2 ve limit 3 + 2 = 5'tir. Buradan m = 5 bulunur (12.5.1.3).
Kaynak: AYT Matematik · Limit ve Süreklilik
Soru 16 · Geometri
x² + y² − 6x + 4y + k = 0 denklemi x eksenine teğet olan bir çember belirttiğine göre k kaçtır?
- A)4
- B)9
- C)11
- D)13
- E)17
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: B) 9
Tam kareye tamamlama: (x − 3)² + (y + 2)² = 13 − k. Merkez M(3, −2); x eksenine teğet çemberde yarıçap merkezin ordinatının mutlak değeridir: r = 2. 13 − k = 4 ⇒ k = 9.
Kaynak: AYT Matematik · Geometri IV: Çember, Daire ve Çemberin Analitik İncelenmesi
Soru 17 · Sayılar, Fonksiyonlar ve Cebir
3 ile 59 sayıları arasına, oluşan sayı dizisi aritmetik olacak biçimde k tane sayı yerleştiriliyor. Yerleştirilen sayıların toplamı 279 olduğuna göre k kaçtır?
- A)6
- B)7
- C)8
- D)9
- E)10
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: D) 9
Yerleştirilen k sayı da aritmetik dizi oluşturur ve bu dizide uçlardan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı 3 + 59 = 62'dir. Bu yüzden yerleştirilen sayıların toplamı k · 62/2 = 31k'dir. 31k = 279 ve k = 9. Ortak fark (59 − 3)/(9 + 1) = 5,6 olur.
Kaynak: AYT Matematik · Diziler
Soru 18 · Limit, Türev ve İntegral
x > 0 olmak üzere ∫ (3√x − 2/x²) dx integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? (c bir sabittir.)
- A)2x√x − 2/x + c
- B)2x√x + 2/x + c
- C)3x√x + 2/x + c
- D)x√x − 1/x + c
- E)3/(2√x) + 4/x³ + c
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: B) 2x√x + 2/x + c
Üslü biçim: 3x^(1/2) − 2x^(−2). Kuvvet kuralıyla 3 · x^(3/2)/(3/2) = 2x^(3/2) = 2x√x ve −2 · x^(−1)/(−1) = 2/x bulunur. Sonuç 2x√x + 2/x + c'dir; türevi alınarak denetlenebilir (12.6.1.1/a).
Kaynak: AYT Matematik · Belirsiz ve Belirli İntegral
Soru 19 · Geometri
P(3, −2) noktası önce y = x doğrusuna göre yansıtılıyor, elde edilen nokta 4 birim sağa ve 1 birim aşağı ötelendikten sonra orijine göre yansıtılıyor. Son elde edilen noktanın koordinatları toplamı kaçtır?
- A)−8
- B)−6
- C)−5
- D)−4
- E)4
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: D) −4
y = x doğrusuna göre simetri: (3, −2) → (−2, 3). Öteleme: (−2 + 4, 3 − 1) = (2, 2). Orijine göre simetri: (−2, −2). Koordinatlar toplamı −4'tür.
Kaynak: AYT Matematik · Geometri III: Doğrunun Analitik İncelenmesi ve Dönüşümler
Soru 20 · Sayılar, Fonksiyonlar ve Cebir
π/2 < x < π ve sin x = 3/5 olduğuna göre tan 2x kaçtır?
- A)−24/7
- B)−7/24
- C)7/24
- D)24/25
- E)24/7
Cevabı ve açıklamayı göster
Doğru cevap: A) −24/7
x ikinci bölgede olduğundan cos x = −4/5 ve tan x = −3/4'tür. tan 2x = 2 · tan x / (1 − tan² x) = (−3/2) / (1 − 9/16) = (−3/2) / (7/16) = −24/7. Denetim: sin 2x = −24/25, cos 2x = 1 − 2 · 9/25 = 7/25 ve oranları −24/7'dir.
Kaynak: AYT Matematik · Trigonometri II: Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri, Trigonometrik Denklemler
